Question

10．设命题P：函数f（x）=lg（ax²-4x+a）的定义域为R；命题q：函数g（x）=x²-ax-2在区间（1，3）上有唯一零点，
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）问题掌握ax²-4x+a＞0恒成立，通过讨论a的范围，结合函数的性质求出a的范围即可；（2）通过讨论p，q的真假，确定a的范围即可．

解答 解：（1）若函数f（x）=lg（ax²-4x+a）的定义域为R，
则ax²-4x+a＞0恒成立．
若a=0，则不等式为-4x＞0，即x＜0，不满足条件．
若a≠0，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=16-{4a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a}^{2}＞4}\end{array}\right.$，
解得a＞2，即命题p为真命题，实数a的取值范围a＞2；
（2）如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
则p，q一真一假，
q：由于△=a²+4＞0，q真?g（1）g（3）＜0，解得：-1＜a＜$\frac{7}{3}$，
p真q假时：a∈[$\frac{7}{3}$，+∞），p假q真时：a∈（-1，2]，
综上，a∈[$\frac{7}{3}$，+∞）∪（-1，2]．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道基础题．