Question

函数f（x）=

2 sinx+cosx

sinx+ 1-sinx

（0≤x≤π）的最大值为（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．

  3

• D．2

Answer 1

分析：要使f（x）=

2 sinx+cosx

sinx+ 1-sinx

（0≤x≤π）取得最大值，由于分母为正，则需分子最大，分母最小即可．

解答：解：要使f（x）=

2 sinx+cosx

sinx+ 1-sinx

（0≤x≤π）取得最大值，由于分母为正，则需分子最大，分母最小即可
令y=

2

sinx+cosx，则y′=

2

cosx-sinx，当y′＞0时，为增函数，tanx＜2，（0≤x≤π），即sinx＜

6

3

，cosx＞

3

3

，或sinx＞0，cosx＜0；当tanx＞

2

时，为减函数；当sinx=

6

3

，cosx=

3

3

时，y=

2

sinx+cosx有最大值=

3

；x=0，x=

π

2

和x=π时有极值1，

2

和-1，则y=

2

sinx+cosx的值域[-1，

3

]．
令y=sinx+

1-sinx

，

1-sinx

=t(0≤t≤1)，
∴y=-t2+t+1=-(t-

1

2

)2+

5

4

∵0≤t≤1，∴t=0或1时，函数取得最小值1，函数的值域为[1，

5

4

]．
当sinx=

6

3

，cosx=

3

3

时，分子取

3

，分母取不到1，所以排除C，D．
t=0时，sinx=1，cosx=0，分子

2

sinx+cosx取得最大值为

2

，f（x）=

2 sinx+cosx

sinx+ 1-sinx

（0≤x≤π）取得最大值

2

；
t=1时，sinx=0，cosx=1，分子

2

sinx+cosx取得最大值为1，f（x）=

2 sinx+cosx

sinx+ 1-sinx

（0≤x≤π）取得最大值1；
综上知，f（x）=

2 sinx+cosx

sinx+ 1-sinx

（0≤x≤π）的最大值为

2

．

点评：本题考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，考查二次函数的最值，属于中档题．