Question

已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）-1
（1）求：函数f（x）的最大值及取得最大值时的x值；
（2）在给出的直角坐标系中，用五点作图法画出函数y=f（x）一个周期内的图象

x
y

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式进行化简变形成y=Asin（ωx+φ），从而求出函数的最值，以及取最值时x的值．
（2）直接利用五点法，令2x-

π

4

=0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，求出对应的x即可找到五个特殊点的坐标，即可得到函数图象．

解答：解：（1）f(x)=2sinx(sinx+cosx)-1=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)
当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

(k∈Z)，即x=kπ+

3π

8

(k∈Z)时，
函数f（x）的最大值为

2

．
（2）令2x-

π

4

=0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，
解得：x=

π

8

，

3π

8

，

5π

8

，

7π

8

，

9π

8

．
所以函数f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)过点（

π

8

，0），（

3π

8

，

2

），（

5π

8

，0），（

7π

8

，-

2

），（ 

9π

8

，0）．
在题中所给的坐标系中把这五个点用光滑的曲线连起来即可．

点评：本题主要考查了三角函数的最值，以及五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，属于中档题．