题目内容
已知函数f（x）=2sinx（cosx-sinx）．
（1）当0＜x＜π时，求f（x）的最大值及相应的x值；
（2）利用函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到f（x）的图象．
（1）当0＜x＜π时，求f（x）的最大值及相应的x值；
（2）利用函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到f（x）的图象．
分析：（1）利用两角和与差的正弦将f（x）化简为f（x）=
sin（2x+
）-1，由0＜x＜π，即可求得f（x）的最大值及相应的x值；
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到f（x）的图象．
| 2 |
| π |
| 4 |
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到f（x）的图象．
解答：解：（1）∵f（x）=2sinx（cosx-sinx）
=2sinxcosx-2sin2x
=sin2x+cos2x-1
=
sin（2x+
）-1，
∵0＜x＜π，
∴
＜2x+
＜
，
∴当2x+
=
，即x=
时，f（x）有最大值
-1；
∴f（x）最大值是
-1，相应的x的值x=
；
（2）函数y=sinx的图象向左平移
个单位，得到y=sin（x+
）的图象，
再把y=sin（x+
）的图象上的点横坐标变为原来的
倍，得到y=sin（2x+
）的图象，
再把y=sin（2x+
）的图象上的点纵坐标变为原来的
倍，
得到y=
sin（2x+
）的图象，
最后把y=
sin（2x+
）的图象向下平移1个单位得到y=
sin（2x+
）-1的图象．
=2sinxcosx-2sin2x
=sin2x+cos2x-1
=
| 2 |
| π |
| 4 |
∵0＜x＜π，
∴
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 9π |
| 4 |
∴当2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 8 |
| 2 |
∴f（x）最大值是
| 2 |
| π |
| 8 |
（2）函数y=sinx的图象向左平移
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
再把y=sin（x+
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 4 |
再把y=sin（2x+
| π |
| 4 |
| 2 |
得到y=
| 2 |
| π |
| 4 |
最后把y=
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
点评：本题考查两角和与差的正弦，着重考查二倍角的正弦与余弦，突出考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题．
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