Question

如图，椭圆的长轴A₁A₂与x轴平行，短轴B₁B₂在y轴上，中心为M(0，r)(b>r>0)．

（1）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；

（2）直线y=k₁x交椭圆于两点C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)(y₂>0)；直线y=k₂x交椭圆于两点G(x₃，y₃)，H(x₄，y₄)(y₄>0)．求证；

（3）对于（2）中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q．求证：|OP|=|OQ|．（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：椭圆方程为，焦点坐标为，，离心率． （2）证明：将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，整理得(b2+)x2-2a2rx(a2r2-a2b2)=0．根据韦达定理，得 ，  所以，       ① 将直线GH的方程y=x代入椭圆方程，同理可得， 由①、②得所以结论成立． （3）证明：设点P(p，0)，点Q(q，0)，由C、P、H共线，得，解得，由D、Q、G共线，同理可得由，变形得 即 所以|p|=|q|，即|OP|=|OQ|．

提示：

本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力．