Question

7．函数y=$\sqrt{{x}^{2}-x-2}$的定义域为A，y=$\sqrt{a{x}^{2}+x+12}$（a＜0）的定义域为B．
（1）当a=-1时，求A∩B；
（2）若A∪B=R，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求解一元二次不等式得到集合A，B，然后取交集得答案；
（2）由A∪B=R，得{x|-1＜x＜2}为不等式ax²+x+12≥0的解集的子集，然后借助于一元二次方程根的分别列不等式组求得a的取值范围．

解答 解：（1）由x²-x-2≥0，解得x≤-1或x≥2，∴A={x|x≤-1或x≥2}．
当a=-1时，由-x²+x+12≥0，解得：-3≤x≤4，∴B={x|-3≤x≤4}．
则A∩B=[-3，-1]∪[2，4]；
（2）A={x|x≤-1或x≥2}，要使A∪B=R，则集合{x|-1＜x＜2}应为B的子集，
即集合{x|-1＜x＜2}为不等式ax²+x+12≥0的解集的子集，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a-1+12≥0}\\{4a+2+12≥0}\end{array}\right.$，解得：$-\frac{7}{2}≤a＜0$．
∴a的取值范围是[-$\frac{7}{2}$，0）．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了并集及其运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．