Question

已知函数f(x)＝x³－ax²－3x．

(1)若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)若x＝－是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值；

(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)＝3x2－2ax－3． 　　∵f(x)在[1，＋∞)是增函数， 　　∴(x)在[1，＋∞)上恒有(x)≥0，即 　　3x2－2ax－3≥0在[1，＋∞)上恒成立， 　　则必有≤1且(1)＝－2a≥0．∴a≤0　　4分 　　(2)依题意，(－)＝0， 　　即＋a－3＝0． 　　∴a＝4，∴f(x)＝x3－4x2－3x． 　　令f′(x)＝3x2－8x－3＝0， 　　得x1＝－，x2＝3． 　　则当x变化时，(x)与f(x)变化情况如下表 　　∴f(x)在[1，4]上的最大值是f(1)＝－6　　8分 　　(3)函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x3－4x2－3x＝bx恰有3个不等实根． 　　∴x3－4x2－3x－bx＝0， 　　∴x＝0是其中一个根， 　　∴方程x2－4x－3－b＝0有两个非零不等实根． 　　∴ 　　∴b＞－7且b≠－3． 　　∴存在满足条件的b值，b的取值范围是b＞－7且b≠－3　　12分