Question

【题目】已知四边形为等腰梯形，∥，沿对角线将旋转，使得点至点的位置，此时满足.

（1）证明；

（2）求二面角平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

(1）先由余弦定理的计算得到 ,

折叠后，又，故面，根据折叠后不变的一些垂直关系证得面，进而得到结论.

（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求得平面的法向量与平面的法向量，计算再求得正弦即可.

解：（1） 证明：在等腰梯形中，由平面几何知识易得，又，由余弦定理可得，则，故,

折叠后，又，故面，

而面，故.

（2）由（1）知面，，以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则

则，

设平面的法向量为，则即.

取则故

同理可求得平面的法向量

设二面角的平面角为，则，

结合图形可知.