Question

1．在集合{1，2，…，50}的子集S中，任意两个元素的平方和不是7的倍数，求|S|的最大值．

Answer 1

分析 此题表面是对子集的考察，但更是对数技能的考察，我们需要对数的平方计算，再除以7求余数，观察规律，进而探索思路，得出结果．考虑1-7的平方对7取余数，依次为1，4，2，2，4，1，0，其后每7个数的平方对7取余数均为这列数；由此可以看出两个元素平方和是7的倍数只能要求两个数的平方本身是7的倍数；所以|S|要取最大值只需要去掉S中7的倍数就可以了，当然也可以有一个7的倍数．

解答 解：因为 0²=0，1²=1，2²=4，3²=9≡2，4²=16≡2，5²=25≡4，6²=36≡1，
所以，任意一个整数的平方被7除的余数只可能是 0、1、2、4．
由于 1+1=2，1+2=3，2+2=4，1+4=5，2+4=6，4+4=8≡1，均不是7的倍数，
且0+1=1，0+2=2，0+4=4 也不是7的倍数，
因此，只要取的数都不是7的倍数，再加上一个7（或其它7的倍数），就满足要求．
也就是，|S|的最大值为 50-[$\frac{50}{7}$]+1=44．

点评 此题是探索性题型，需要我们先试探性的寻找规律，再去思考求解．锻炼我们的分析问题能力．