Question

11．已知$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+2y-4≥0}\\{4x+y-8≤0}\end{array}\right.$，求z=x²+y²与u=$\frac{y}{x}$的最大值．

Answer 1

分析 首先湖长城不等式组表示的平面区域，然后根据目标函数的几何意义求最值．

解答 解：不等式组表示的平面区域如图：

使z=x²+y²最大的是图中A到原点距离的平方，由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{4x+y-8=0}\end{array}\right.$得到A（$\frac{7}{5}$，$\frac{12}{5}$），所以最大值为$（\frac{7}{5}）^{2}+（\frac{12}{5}）^{2}$=$\frac{193}{25}$，
u=$\frac{y}{x}$的最大值是图中过O，B的直线的斜率，由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$得B（$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{3}$），所以最大值为$\frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了利用数形结合解答简单的线性规划问题，关键是正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值．