题目内容

9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(2b-c)cosA-acosC=0
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=$\sqrt{33}$,a=5,求△ABC的面积.

分析 (1)将条件转化为边的关系,然后利用余弦定理求出A的余弦值,从而求出A的值;
(2)利用余弦定理可求bc的值,再结合正弦面积公式,从而求出△ABC面积的值.

解答 解:∵在△ABC中,(2b-c)cosA-acosC=0,
∴(2b-c)×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$-a×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=0,
∴b2+c2-a2=bc,
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$,
∵A∈(0,π),
∴A=$\frac{π}{3}$.
(2)由(1)知:A=$\frac{π}{3}$,a=5,
∴由余弦定理可得:25=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=33-3bc,解得:bc=$\frac{8}{3}$,
∴△ABC面积:S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{8}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
∴△ABC的面积为:$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

点评 本题考查了用余弦定理、正弦面积公式、基本等式,本题难度不大,属于基础题.

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