Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1-a_n=n+1（n∈N⁺），bn=

1

an

．求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：先利用累加法可求得a_n，从而可得b_n，再用裂项相消法可求得S_n．

解答：解：∵a_n+1-a_n=n+1（n∈N₊），∴n≥2时a_n-a_n-1=n，
∴

a2-a1=2 a3-a2=3 a4-a3=4 … an-an-1=n

，累加得an-a1=

(n+2)(n-1)

2

，
又a₁=1，∴an=

n(n+1)

2

(n≥2)，经检验n=1也成立，
∴an=

n(n+1)

2

(n∈N+)，
∴bn=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Sn=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项及数列求和，属中档题，若已知a_n+1-a_n=f（n），则可用累加法求数列通项；裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．