Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为矩形，已知平面，为的中点，，过点作于，连接，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）证明平面推出，再证明平面推出，然后证明平面从而由线面垂直推出面面垂直；（2）利用线面角的正切值求出AD，以为坐标中心建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，代入公式即可得解.

（1）证明：∵平面，∴，

又∵，，平面，平面，

∴平面，∴，

又∵，∴，

，∴平面，∴，

又∵，∴平面，

又∵平面，∴平面平面.

（2）∵平面，∴与平面所成角为，

∴，

假设，∴，∴，∴，

以为坐标中心建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，，，

由（1）可知平面，∴为平面的法向量，

又∵平面，∴为平面的法向量，

∵，，

∴.

∴平面与平面所成角的余弦值为.