Question

10．如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为8，点H在棱AA₁上，且HA₁=2，在侧面BCC₁B₁内作边长为2的正方形EFGC₁，P是侧面BCC₁B₁内一动点且点P到平面CDD₁C₁距离等于线段PF的长，则当点P运动时，|HP|²的最小值是（　　）

• A． 87
• B． 88
• C． 89
• D． 90

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，过点H作HM⊥BB′，垂足为M，连接MP，得出HP²=HM²+MP²；当MP最小时，HP²最小，利用空间直角坐标系求出MP²的最小值即可．

解答 解：建立空间直角坐标系，如图所示，
过点H作HM⊥BB′，垂足为M，连接MP，
则HM⊥PM，
∴HP²=HM²+MP²；
当MP最小时，HP²最小，
过P作PN⊥CC′，垂足为N，
设P（x，8，z），则
F（2，8，6），M（8，8，6），N（0，8，z），且0≤x≤8，0≤z≤8，
∵PN=PF，∴$\sqrt{（x-2）^{2}+（z-6）^{2}}$=x，化简得4x-4=（z-6）²，
∴MP²=（x-8）²+（z-6）²=（x-8）²+4x-4=x²-12x+60=（x-6）²+24≥24，
当x=6时，MP²取得最小值，此时HP²=HM²+MP²=8²+24=88为最小值．
故选：B．

点评 本题考查了空间直角坐标系的应用问题，也考查了空间中的距离的最值问题，是较难的题目，解题时要注意数形结合思想的合理运用．