Question

5．已知抛物线C：y²=-2px（p＞0）上横坐标为-3的一点与其焦点的距离为4．
（1）求p的值；
（2）设动直线y=k（x+2）与抛物线C相交于A，B两点，问：在x轴上是否存在与k的取值无关的定点M，使得∠AMB被x轴平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线性质可知：丨-3-$\frac{p}{2}$丨=4，解得p值．
（2）分类讨论k的取值，当k≠0时，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设存在点M（a，0）满足条件，由已知得k_AM=-K_BM，整理得（y₁y₂+4a）（y₁+y₂）=0；把直线方程代入抛物线方程化简，把根与系数的关系代入解得a的值．

解答 解：（1）由抛物线性质可知：丨-3-$\frac{p}{2}$丨=4，
∵p＞0，
∴p=2，
（2）抛物线方程为：y²=-4x，
当k=0，直线只与抛物线有一个交点，显然不成立，
当k不存在时，与x轴垂线，与抛物线有两个交点，显然成立；
当k≠0时，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设存在点M（a，0）满足条件，由已知得k_AM=-K_BM，
即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-a}$=0，
整理得：（y₁y₂+4a）（y₁+y₂）=0，
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{y}^{2}=-4x}\end{array}\right.$，整理得y²+$\frac{4y}{k}$-8=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-8，
∴（4a-8）（-$\frac{4}{k}$）=0，
∴4a-8=0，解的a=2，
因此存在点M（2，0）满足题意．

点评 本题主要考查直线的斜率公式，抛物线的定义、标准方程以及简单性质的应用，属于中档题．