Question

已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₈+a₄=26，{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令b_n=

1

an2-1

（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等差数列的通项公式求出首项和公差即可求a_n及S_n；
（Ⅱ）求出b_n的通项公式，利用裂项法即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，因为a₃=7，a₈+a₄=26，所以有

a1+2d=7 2a1+10d=26

，解得a₁=3，d=2，
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1；S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，所以b_n=

1

an2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

•

1

n(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
所以数列{b_n}的前n项和T_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

，
即数列{b_n}的前n项和T_n=

n

4(n+1)

．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和的计算，以及利用裂项法进行求和．