Question

已知向量

m

=(1，-2)与

n

=(1，λ)．
（Ⅰ）若

n

在

m

方向上的投影为

5

，求λ的值；
（Ⅱ）命题P：向量

m

与

n

的夹角为锐角；命题q：关于x的方程

a

•

b

=0有实数解，其中向量

a

=(x-2，1)

b

=(x，λ2)(λ∈R)．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据向量数量积公式和模的公式，可得

n

•

m

=1-2λ，

|m

|=

1 2+(-2) 2

=

5

，再结合已知条件可列出关于λ的等式，解之即得实数λ的值；
（2）由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，可得命题p、q当中有且只有一个真命题．然后分别求出p、q为真命题时，λ的取值范围．最后分别求出“p真q假”和“p假q真”时，λ的取值范围，再求出两种情况的并集，即可得到λ的取值范围．

解答：解：（1）由已知条件，得

n • m

| m |

=

5

，而

n

•

m

=1-2λ，

|m

|=

1 2+(-2) 2

=

5

∴

1-2λ

5

=

5

，得1-2λ=5，解之得λ=-2…（4分）
（2）∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴命题p、q当中有且只有一个真命题．
1°若P为真，则

m

•

n

＞0且

1

1

≠

λ

-2

即1-2λ＞0且λ≠-2，得λ＜

1

2

且λ≠-2．
2°若q为真，则

a

•

b

=0有实数解，即（x-2，1）•（x，λ²）=0有实数解
∴x²-2x+λ²=0有实数解，可得△≥0
∴4-4λ²≥0，解之得-1≤λ≤1…（8分）
接下来分两种情况分析p、q的真假情况
①当p真q假时，

λ＜ 1 2 且λ≠-2 λ＜-1或λ＞1

∴λ＜-1且λ≠-2…（7分）
②当p假q真时，

λ≥ 1 2 或λ=-2 -1≤λ≤1

∴

1

2

≤λ≤1
综上所述，可得λ∈（-∞，-2）∪（-2，-1）∪[

1

2

，1]

点评：本题以命题真假的判断为载体，通过求参数λ的取值范围，着重考查了向量的数量积、向量的投影和一元二次方程根的判别式等知识点，属于基础题．