题目内容
已知向量
=(-1，sinx)，
=(-2，cosx)，函数f(x)=2
•
．
（1）求函数f（x）在区间[0，
]上的最大值；
（2）若△ABC的角A、B所对的边分别为a、b，f(
)=
，f(
+
)=
，a+b=11，求a的值．
| m |
| n |
| m |
| n |
（1）求函数f（x）在区间[0，
| π |
| 2 |
（2）若△ABC的角A、B所对的边分别为a、b，f(
| A |
| 2 |
| 24 |
| 5 |
| B |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 64 |
| 13 |
分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得f（x）=
•
=4+sin2x，由x∈[0，
]，根据正弦函数的定义域和值域求得sin2x的范围，即可求得函数f（x）的值域．
（2）由f(
)=
求得sinA的值；由f(
+
)=
，求得sin(B+
)的值，从而求得cosB和sinB的值，再由正弦定理得
=
=
，求得a的值．
| m |
| n |
| π |
| 2 |
（2）由f(
| A |
| 2 |
| 24 |
| 5 |
| B |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 64 |
| 13 |
| π |
| 2 |
| a |
| b |
| sinA |
| sinB |
| 52 |
| 25 |
解答：解：（1）依题意，f（x）=
•
=2（2+sinxcosx）=4+sin2x…（3分），
由x∈[0，
]，可得2x∈[0，π]，sin2x∈[0，1]，…（4分），
所以，函数f（x）在区间[0，
]上的最大值为5．…（5分）
（2）由f(
)=
得sinA=
．…（6分），
由f(
+
)=
，得sin(B+
)=
…（7分），从而cosB=
…（8分），
因为0＜B＜π，所以sinB=
…（9分），
由正弦定理得
=
=
…（11分），所以，
=
，a=
…（12分）．
| m |
| n |
由x∈[0，
| π |
| 2 |
所以，函数f（x）在区间[0，
| π |
| 2 |
（2）由f(
| A |
| 2 |
| 24 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
由f(
| B |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 64 |
| 13 |
| π |
| 2 |
| 12 |
| 13 |
| 12 |
| 13 |
因为0＜B＜π，所以sinB=
| 5 |
| 13 |
由正弦定理得
| a |
| b |
| sinA |
| sinB |
| 52 |
| 25 |
| a |
| a+b |
| 52 |
| 77 |
| 52 |
| 7 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦定理以及正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
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