Question

已知向量

m

=(1，1)，向量

n

与向量

m

夹角为

3

4

π，且

m

•

n

=-1，又A、B、C为△ABC的三个内角，且B=

π

3

，A≤B≤C．
（Ⅰ）求向量

n

；
（Ⅱ）若向量

n

与向量

q

=(1，0)的夹角为

π

2

，向量

p

=(cosA，2cos2

C

2

)，试求|

n

+

p

|的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设

n

=（x，y），由

m

•

n

=-1可得x+y=-1，由向量

n

与向量

m

夹角为

3

4

π，求得x²+y²=1，解方程组求得x、y的值，即可求得向量

n

的坐标．
（Ⅱ）由向量

n

与向量

q

=（1，0）垂直知

n

=（0，-1），求得

n

+

p

的坐标，可求得|

n

+

p

|2的解析式为

1

2

cos(2A+

π

3

)+1，再根据余弦函数的定义域和值域，求得|

n

+

p

|2的范围，即可得到|

n

+

p

|的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设

n

=（x，y），由

m

•

n

=-1可得x+y=-1． ①…（2分）
由向量

n

与向量

m

夹角为

3

4

π，得

m

•

n

=|

m

|•|

n

|•cos

3

4

π，∴-1=

2

×

x2+y2

×(-

2

2

)，得x²+y²=1．②…（4分）
由①②解得

x=-1 y=0

，或

x=0 y=-1

，可得

n

=（-1，0），或

n

=（0，-1）．     …（6分）
（Ⅱ）由向量

n

与向量

q

=（1，0）垂直知

n

=（0，-1）．      …（7分）
∵△ABC的三个内角中，B=

π

3

，A≤B≤C，∴C=

2π

3

-A，0＜A≤

π

3

．   …（8分）
∴

n

+

p

=（cosA，2cos2

C

2

-1）=（cosA，cosC），…（9分）
∴|

n

+

p

|2=cos²A+cos²C=

1+cos2A

2

+

1+cos2C

2

  …（10分）
=

1

2

[cos2A+cos(

4π

3

-2A)]+1=

1

2

[cos2A-

1

2

cos2A-

3

2

sin2A]+1=

1

2

[

1

2

cos2A-

3

2

sin2A]+1=

1

2

cos(2A+

π

3

)+1． …（12分）
∵0＜A≤

π

3

，∴

π

3

＜2A+

π

3

≤π，∴-1≤cos(2A+

π

3

)＜

1

2

，∴

1

2

≤

1

2

cos(2A+

π

3

)+1＜

5

4

．
∴

2

2

≤|

n

+

p

|＜

5

2

，即|

n

+

p

|的取值范围是[

2

2

，

5

2

)．       …（14分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、求向量的模 的方法，三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．