Question

已知向量

m

=(1，cosωx)，

n

=(sinωx，

3

)（ω＞0），函数f(x)=

m

•

n

，且f（x）图象上一个最高点为P(

π

12

，2)，与P最近的一个最低点的坐标为(

7π

12

，-2)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设a为常数，判断方程f（x）=a在区间[0，

π

2

]上的解的个数；
（3）在锐角△ABC中，若cos(

π

3

-B)=1，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

m

=(1，cosωx)，

n

=(sinωx，

3

)（ω＞0），函数f(x)=

m

•

n

，根据向量的数量积的定义，可得函数f（x）的解析式（含参数），进而根据f（x）图象上一个最高点为P(

π

12

，2)，与P最近的一个最低点的坐标为(

7π

12

，-2)，求出参数的值，即可得到答案．
（2）根据正弦型函数的图象和性质，分析函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的图象和性质，即可得到答案．
（3）由锐角△ABC中，若cos(

π

3

-B)=1，可以求出A的范围，结合（1）中函数的解析式可得f（A）的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=

m

•

n

=sinωx+

3

cosωx=2(

1

2

sinωx+

3

2

cosωx)=2sin(ωx+

π

3

)．…（3分）
∵f（x）图象上一个最高点为P(

π

12

，2)，与P最近的一个最低点的坐标为(

7π

12

，-2)，
∴

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，∴T=π，于是ω=

2π

T

=2．…（5分）
所以f(x)=2sin(2x+

π

3

)．…（6分）
（2）当x∈[0，

π

2

]时，

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，由f(x)=2sin(2x+

π

3

)图象可知：
当a∈[

3

，2)时，f（x）=a在区间[0，

π

2

]上有二解；                   …（8分）
当a∈[-

3

，

3

)或a=2时，f（x）=a在区间[0，

π

2

]上有一解；
当a＜-

3

或a＞2时，f（x）=a在区间[0，

π

2

]上无解．…（10分）
（3）在锐角△ABC中，0＜B＜

π

2

，-

π

6

＜

π

3

-B＜

π

3

．
又cos(

π

3

-B)=1，故

π

3

-B=0，B=

π

3

．…（11分）
在锐角△ABC中，A＜

π

2

，A+B＞

π

2

，∴

π

6

＜A＜

π

2

．…（13分）

2π

3

＜2A+

π

3

＜

4π

3

，
∴sin(2A+

π

3

)∈(-

3

2

，

3

2

)，…（15分）
∴f(A)=2sin(2A+

π

3

)∈(-

3

，

3

)．
即f（A）的取值范围是(-

3

，

3

)．…（16分）

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，三角函数中的恒等变换，正弦型函数的图象和性质，其中根据已知条件，确定函数的解析式是解答本题的关键．