题目内容
已知向量
=(1，cosωx)，
=(sinωx，
)（ω＞0），函数f(x)=
•
，且f（x）图象上一个最高点为P(
，2)，与P最近的一个最低点的坐标为(
，-2)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设a为常数，判断方程f（x）=a在区间[0，
]上的解的个数；
（3）在锐角△ABC中，若cos(
-B)=1，求f（A）的取值范围．
| m |
| n |
| 3 |
| m |
| n |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设a为常数，判断方程f（x）=a在区间[0，
| π |
| 2 |
（3）在锐角△ABC中，若cos(
| π |
| 3 |
分析：（1）由已知中向量
=(1，cosωx)，
=(sinωx，
)（ω＞0），函数f(x)=
•
，根据向量的数量积的定义，可得函数f（x）的解析式（含参数），进而根据f（x）图象上一个最高点为P(
，2)，与P最近的一个最低点的坐标为(
，-2)，求出参数的值，即可得到答案．
（2）根据正弦型函数的图象和性质，分析函数f（x）在区间[0，
]上的图象和性质，即可得到答案．
（3）由锐角△ABC中，若cos(
-B)=1，可以求出A的范围，结合（1）中函数的解析式可得f（A）的取值范围．
| m |
| n |
| 3 |
| m |
| n |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（2）根据正弦型函数的图象和性质，分析函数f（x）在区间[0，
| π |
| 2 |
（3）由锐角△ABC中，若cos(
| π |
| 3 |
解答：解：（1）f(x)=
•
=sinωx+
cosωx=2(
sinωx+
cosωx)=2sin(ωx+
)．…（3分）
∵f（x）图象上一个最高点为P(
，2)，与P最近的一个最低点的坐标为(
，-2)，
∴
=
-
=
，∴T=π，于是ω=
=2．…（5分）
所以f(x)=2sin(2x+
)．…（6分）
（2）当x∈[0，
]时，
≤2x+
≤
，由f(x)=2sin(2x+
)图象可知：
当a∈[
，2)时，f（x）=a在区间[0，
]上有二解； …（8分）
当a∈[-
，
)或a=2时，f（x）=a在区间[0，
]上有一解；
当a＜-
或a＞2时，f（x）=a在区间[0，
]上无解．…（10分）
（3）在锐角△ABC中，0＜B＜
，-
＜
-B＜
．
又cos(
-B)=1，故
-B=0，B=
．…（11分）
在锐角△ABC中，A＜
，A+B＞
，∴
＜A＜
．…（13分）
＜2A+
＜
，
∴sin(2A+
)∈(-
，
)，…（15分）
∴f(A)=2sin(2A+
)∈(-
，
)．
即f（A）的取值范围是(-
，
)．…（16分）
| m |
| n |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
∵f（x）图象上一个最高点为P(
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
∴
| T |
| 2 |
| 7π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
| 2π |
| T |
所以f(x)=2sin(2x+
| π |
| 3 |
（2）当x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 3 |
当a∈[
| 3 |
| π |
| 2 |
当a∈[-
| 3 |
| 3 |
| π |
| 2 |
当a＜-
| 3 |
| π |
| 2 |
（3）在锐角△ABC中，0＜B＜
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
又cos(
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
在锐角△ABC中，A＜
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
∴sin(2A+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴f(A)=2sin(2A+
| π |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
即f（A）的取值范围是(-
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，三角函数中的恒等变换，正弦型函数的图象和性质，其中根据已知条件，确定函数的解析式是解答本题的关键．
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