Question

【题目】在如图所示的直三棱柱中，，分别是，的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若为正三角形，且，为上的一点，，求直线与直线所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取中点，连接，.，推导出，从而平面.

；再推导出平面，进而平面平面.由此能证明平面.（Ⅱ）推导出平面平面.平面取的中点，连接，，可得，故平面，又,可得,所以即为直线与直线所成角.，由此能求出直线与平面所成角的正切值.

试题解析：（Ⅰ）取中点，连接，.

在中，因为，分别为，的中点，所以,平面，平面，所以平面.

在矩形中，因为,分别为,的中点，

所以，平面，平面,所以平面.

因为，所以平面平面.

因为平面，故 平面；

（Ⅱ）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面.

连接，因为为正三角形，为中点，所以,所以平面，

取的中点，连接，，可得，故平面，

又因为,所以,

所以即为直线与直线所成角.

设,在中，，.

所以.