Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣﹣（a+2）lnx，其中实数a≥0．

（1）若a=0，求函数f（x）在x∈[1，3]上的最值；

（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

【答案】（1）函数f（x）在区间[1，3]上的最大值是1，最小值为2﹣2ln2；（2）见解析

【解析】试题分析：

(1)对函数求导，利用导函数与原函数的关系得到最大值是1，最小值为2﹣2ln2；

(2)分类讨论可得 ：当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；

当a=2时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；

当0＜a＜2时，f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）．

试题解析：

解：（1）∵f（x）=x﹣2lnx，∴f′（x）=，令f′（x）=0，∴x=2．列表如下，

x

1

（1，2）

2

（2，3）

3

f'（x）

﹣

0

+

f（x）

1

↘

2﹣2ln2

↗

3﹣2ln3

从上表可知，∵f（3）﹣f（1）=2﹣2ln3＜0，∴f（1）＞f（3），

函数f（x）在区间[1，3]上的最大值是1，最小值为2﹣2ln2；

f′(x)=1+ - ==，

①当a＞2时，x∈（0，2）∪（a，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（2，a）时，f′（x）＜0，

∴f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；

②当a=2时，∵f′(x)= >0(x≠2)，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）；

③当0＜a＜2时，x∈（0，a）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（a，2）时，f′（x）＜0，

∴f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）；

综上，当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；

当a=2时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；

当0＜a＜2时，f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）．