Question

【题目】已知.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）证明：当时，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）、（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证，即，设，则，. 再次构造函数，通过求导研究函数的性质可得在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，即可得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，且所以.当对恒成立时，不等式恒成立.构造函数，讨论的单调性，即可得证.

试题解析：（Ⅰ）不等式，即不等式.

设，则，.

再次构造函数，则在时恒成立，所以函数在上单调递增，所以，所以在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，所以，即成立.

（Ⅱ）由（Ⅰ）的解析可知，当时，且，

所以.

当对恒成立时，不等式恒成立.

不等式，即不等式对恒成立.

构造函数，则，令，

则，当时，，故在上单调递增，

所以，故，即在上单调递增，所以，

故恒成立.

故当时，，

即当时，不等式恒成立.