Question

已知直线l：y＝x＋m，m∈R.

(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．

(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x²＝4y是否相切？说明理由．

Answer 1

设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)²＋y²＝r².

依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，

则解得

所以所求圆的方程为(x－2)²＋y²＝8. --------------6 分

(2)因为直线l的方程为y＝x＋m，

所以直线l′的方程为y＝－x－m. --------------7分

由得x²＋4x＋4m＝0. -------------8分

Δ＝4²－4×4m＝16(1－m)．--------------9分

①当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；

②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．

综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切------12分