Question

3．不等式（x²-x+1）（x²-x-1）＞0的解集是（-∞，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）∪（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用二次函数的判别式的符号判断出x²-x+1＞0恒成立，将不等式同解于一个二次不等式，解二次不等式求出解集．

解答 解：对于y=x²-x+1其判别式△=1-4=-3＜0
∴x²-x+1＞0恒成立，
∴不等式 （x²-x+1）（x²-x-1）＞0同解于
x²-x-1＞0，
令x²-x-1=0，解得x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
∴x＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，或x＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
故不等式的解集为（-∞，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）∪（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了高次不等式的解法，一般利用同解变形将其转化为一次不等式或二次不等式组，然后再解；注意结果一定是集合形式或区间．