Question

已知P为椭圆

x2

4

+y2=1上任意一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，求：
（1）|PF₁|•|PF₂|的最大值；
（2）|PF1|2+|PF2|2的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆定义知|PF₁|+|PF₂|为定值2a，再利用均值定理求积|PF₁|•|PF₂|的最大值即可；
（2）利用配方法将|PF1|2+|PF2|2进行配方，结合|PF₁|+|PF₂|为定值2a，再利用均值定理求|PF1|2+|PF2|2的最小值即可．

解答：解：（1）|PF1|•|PF2|≤(

|PF1|+|PF2|

2

)2=a2=4，
故：|PF₁|•|PF₂|的最大值是4；
（2）|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|•|PF2|≥4a2-2×(

|PF1|+|PF2|

2

)2=2a2=8，
故|PF1|2+|PF2|2的最小值是8．

点评：本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，利用均值定理和函数求最值的方法．