Question

已知P为椭圆

x2

4

+y2=1和双曲线x2-

y2

2

=1的一个交点，F₁，F₂为椭圆的焦点，那么∠F₁PF₂的余弦值为______．

Answer 1

∵椭圆

x2

4

+y2=1，∴椭圆中c=

3

，
∵双曲线x2-

y2

2

=1，∴双曲线中c=

3

，∴椭圆与双曲线共焦点，
∵P为椭圆

x2

4

+y2=1和双曲线x2-

y2

2

=1的一个交点，不妨设P点在双曲线右支上，
∴|PF₁|+|PF₂|=4，|PF₁|-|PF₂|=2，∴∴|PF₁|=3，∴|PF₂|=1，|F₁F₂|=2

3

在△F₁PF₂中，cos∠F₁PF₂=

32+12-(2 3 )2

2×3×1

=-

1

3

故答案为-

1

3