Question

4．设$\overrightarrow a•\overrightarrow b=4\sqrt{3}$，若$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上投影为$2\sqrt{3}$，$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的投影为$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 运用向量的投影定义，可得|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，再由cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$，计算即可得到所求夹角．

解答 解：$\overrightarrow a•\overrightarrow b=4\sqrt{3}$，
若$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上投影为$2\sqrt{3}$，$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的投影为$\sqrt{3}$，
可得$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=2$\sqrt{3}$，$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\sqrt{3}$，
即有|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，
则cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{4×2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞≤π，
可得$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查向量的夹角的求法，注意运用向量的投影概念和向量数量积的夹角公式，考查运算能力，属于基础题．