Question

（2013•四川）已知函数f(x)=

x2+2x+a，x＜0 lnx，x＞0

，其中a是实数．设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的两点，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，证明：x₂-x₁≥1；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数f（x）的单调区间；
（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x₁），点B处的切线的斜率为f′（x₂），再利用f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，斜率之积等于-1，得出（2x₁+2）（2x₂+2）=-1，最后利用基本不等式即可证得x₂-x₁≥1；
（III）先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx₂+（

1

2x2

-1）²-1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．

解答：解：（I）函数f（x）的单调减区间（-∞，-1），函数f（x）的单调增区间[-1，0），（0，+∞）；
（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x₁），点B处的切线的斜率为f′（x₂），
函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x₁）f′（x₂）=-1，
当x＜0时，（2x₁+2）（2x₂+2）=-1，∵x₁＜x₂＜0，∴2x₁+2＜0，2x₂+2＞0，
∴x₂-x₁=

1

2

[-（2x₁+2）+（2x₂+2）]≥

[-(2x1+2)](2x2+2)

=1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x₂-x₁≥1；
（III）当x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁））处的切线方程为y-（x 12+2x₁+a）=（2x₁+2）（x-x₁）；
当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y-lnx₂=

1

x2

（x-x₂）；
两直线重合的充要条件是

1 x2 =2x1+2   ① lnx2-1=- x 2 1 +a   ②

，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜

1

x2

＜2，由①②得a=lnx₂+（

1

2x2

-1）²-1=-ln

1

x2

+

1

4

（

1

x2

-2）²-1，
令t=

1

x2

，则0＜t＜2，且a=

1

4

t²-t-lnt，设h（t）=

1

4

t²-t-lnt，（0＜t＜2）
则h′（t）=

1

2

t-1-

1

t

=

(t-1)2-3

2t

＜0，∴h（t）在（0，2）为减函数，
则h（t）＞h（2）=-ln2-1，∴a＞-ln2-1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（-ln2-1，+∞）．

点评：本题以函数为载体，考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，注意利用导数求函数的最值．