Question

（2013•四川）已知函数f(x)=

x2+2x+a，x＜0 lnx，x＞0

，其中a是实数，设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的点，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，求x₂-x₁的最小值；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；
（II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得f′(x1)•f′(x2)=-1，即（2x₁+2）（2x₂+2）=-1．可得x2-x1=

1

2

[-(2x1+2)+(2x2+2)]，再利用基本不等式的性质即可得出；
（III）当x₁＜x₂＜0或0＜x₁＜x₂时，∵f′(x1)≠f′(x2)，故不成立，∴x₁＜0＜x₂．分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出．．

解答：解：（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）²+a，
∴f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．
（II）∵x₁＜x₂＜0，∴f（x）=x²+2x+a，∴f′（x）=2x+2，
∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x₁），f′（x₂），
∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，
∴f′(x1)•f′(x2)=-1，
∴（2x₁+2）（2x₂+2）=-1．
∴2x₁+2＜0，2x₂+2＞0，
∴x2-x1=

1

2

[-(2x1+2)+(2x2+2)]≥

[-(2x1+2)](2x2+2)

=1，当且仅当-（2x₁+2）=2x₂+2=1，即x1=-

3

2

，x2=-

1

2

时等号成立．
∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，求x₂-x₁的最小值为1．
（III）当x₁＜x₂＜0或0＜x₁＜x₂时，∵f′(x1)≠f′(x2)，故不成立，∴x₁＜0＜x₂．
当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁）），处的切线方程为
y-(

x

2 1

+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1)，即y=(2x1+2)x-

x

2 1

+a．
当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y-lnx2=

1

x2

(x-x2)，即y=

1

x2

x+lnx2-1．
函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是

1 x2 =2x1+2  ① lnx2-1=- x 2 1 +a  ②

，
由①及x₁＜0＜x₂可得-1＜x₁＜0，
由①②得a=

x

2 1

+ln

1

2x1+2

-1=

x

2 1

-ln(2x1+2)-1．
∵函数y=

x

2 1

-1，y=-ln（2x₁+2）在区间（-1，0）上单调递减，
∴a（x₁）=

x

2 1

-ln(2x1+2)-1在（-1，0）上单调递减，且x₁→-1时，ln（2x₁+2）→-∞，即-ln（2x₁+2）→+∞，也即a（x₁）→+∞．
x₁→0，a（x₁）→-1-ln2．
∴a的取值范围是（-1-ln2，+∞）．

点评：本题主要考查了基本函数的性质、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、基本不等式的性质、直线的位置关系等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．