Question

如图，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

（1）证明PA//平面EDB；

（2）证明PB⊥平面EFD；

Answer 1

解:方法一：

      

(1) 证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO．

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点，

在中，EO是中位线，∴PA // EO，

而平面EDB且平面EDB，所以，PA //平面EDB．

(2) 证明：∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，

∴，

∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边      

PC的 中线，∴．    ①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．

而平面PDC，∴．    ②

由①和②推得平面PBC．

而平面PBC，∴

       又且，所以PB⊥平面EFD．

方法二(理科选择)：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设．

(1)证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG．

依题意得．

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，

故点G的坐标为，

且．

∴，这表明PA//EG．

而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB．

(2)证明：依题意得，．

又，故．

∴．

由已知，且，所以平面EFD．