Question

9．已知F₁、F₂分别是离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₂的直线l交椭圆C于A、B两点，且△ABF₁的周长为4$\sqrt{2}$．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若△ABF₁的面积为$\frac{4}{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的性质可知：e=$\frac{c}{a}$，4a=4$\sqrt{2}$及b²=a²-b²即可求得a、b和c的值，求得椭圆的方程；
（2）由题意设出直线方程x=ny+1，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，由三角形的面积公式写出面积，求得n的值，则直线方程可求．

解答 解：由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a²=2c²，
△ABF₁的周长为4$\sqrt{2}$．即4a=4$\sqrt{2}$．
∴a=$\sqrt{2}$，c=1，
由b²=a²-b²=2-1=1，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）当斜率不存在时，
当x=1时，y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，丨AB丨=$\sqrt{2}$，
△ABF₁的面积S=$\frac{1}{2}$×2c×丨AB丨=$\sqrt{2}$，不成立，
当斜率存在，过点F₂（1，0）直线AB的方程为x=ny+1，
将直线方程代入椭圆方程，得（2+n²）y²+2ny-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=$\frac{-2n}{2+{n}^{2}}$，y₁•y₂=-$\frac{1}{2+{n}^{2}}$，
丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{n}^{2}}}{2+{n}^{2}}$，
△ABF₁的面积S=$\frac{1}{2}$×2c×丨AB丨=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{n}^{2}}}{2+{n}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{n}^{2}}}{2+{n}^{2}}$，
$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{n}^{2}}}{2+{n}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，整理得：2n⁴-n²-1=0，解得：n²=1，n=±1，
故直线方程为y-x+1=0或-y-x+1=0．

点评 本题考查椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，考查根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，考查转化思想，推理能力与计算能力，属于中档题．