Question

将函数y=f（x）=

1

2

（sinx+cosx）²-

3

2

的图象按向量

a

=（

π

4

，1）平移得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）已知A（-1，2），B（1，2）．问在函数y=g（x）的图象上是否存在一点P，使得

AP

•

BP

=

5

4

？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）化简得，f（x）=

1

2

sin2x-1，利用向量的平移可求函数y=g（x）的解析式；
（2）利用向量数量积的坐标运算，可求得

AP

•

BP

=x²+(

1

2

cos2x+2)2-1，分别对x²≥0，(

1

2

cos2x+2)2≥

9

4

的等号成立的讨论，即可判断y=g（x）的图象上，使得

AP

•

BP

=

5

4

的点P是否存在．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

（1+sin2x）-

3

2

=

1

2

sin2x-1，
∵

a

=（

π

4

，1），
∴g（x）=

1

2

sin2（x-

π

4

）=-

1

2

cos2x…4分
（2）设P（x，-

1

2

cos2x），
则

AP

=（x+1，-

1

2

cos2x-2），

BP

=（x-1，-

1

2

cos2x-2）…6分
∴

AP

•

BP

=（x²-1）+(

1

2

cos2x+2)2=x²+(

1

2

cos2x+2)2-1…8分
∵x²≥0，等号当且仅当x=0时取得，
(

1

2

cos2x+2)2≥

9

4

等号当且仅当cos2x=-1，即x=kπ-

π

2

（k∈Z）时取得，
∴x²+(

1

2

cos2x+2)2＞

9

4

．
∴

AP

•

BP

＞

5

4

．
故在函数y=g（x）的图象上，使得

AP

•

BP

=

5

4

的点P不存在…12分

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，着重考查平面向量数量积的坐标运算，考查综合分析与推理运算的能力，属于难题．