Question

11．己知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为6，焦点F₁（-c，0）到长轴的两个端点的距离之比为$\frac{1}{9}$．
（I）求椭圆C的离心率及椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆C上一点P（m，n），满足PF₁⊥PF₂，当n＞0时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （I）由题意可知：b=3，$\frac{a-c}{a+c}=\frac{1}{9}$及a²=c²+9，即可求得a和b的值，由e=$\frac{c}{a}$，即可求得离心率及椭圆方程；
（Ⅱ）由PF₁⊥PF₂，可知P在以O为圆心，以4为半径的圆上，列方程组，即可求得m和n的值，求得P的坐标．

解答 解：（I）由题意可知：2b=6，b=3，
$\frac{a-c}{a+c}=\frac{1}{9}$，
由a²=c²+9，
解得：a=5，c=4，
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$，
∴椭圆C的标准方程$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（Ⅱ）由PF₁⊥PF₂，
∴P为以F₁F₂为直径的圆上，即m²+n²=16，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}}{25}+\frac{{n}^{2}}{9}=1}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=16}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=\frac{175}{16}}\\{{n}^{2}=\frac{81}{16}}\end{array}\right.$，
n＞0时，$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5\sqrt{7}}{4}}\\{n=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{5\sqrt{7}}{4}}\\{n=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
点P的坐标（$\frac{5\sqrt{7}}{4}$，$\frac{9}{4}$），（-$\frac{5\sqrt{7}}{4}$，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及其简单性质，考查求椭圆与圆交点坐标的方法，考查计算能力，属于中档题．