Question

（本题满分13分）

如图，棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，

∠A₁AC=60°。

（Ⅰ）证明：BD⊥AA₁；

（Ⅱ）求二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值；

（Ⅲ）在直线CC₁上是否存在点P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A₁O，在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，

∠A₁AO=60°∴A₁O²=AA₁²+AO²－2AA₁·Aocos60°=3 

∴AO²+A₁O²=A₁²

∴A₁O⊥AO，由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，

所以A₁O⊥底面ABCD

∴以OB、OC、OA₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则

A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），

D（－，0，0），A₁（0，0，）                         ………2分

（Ⅰ）由于,,

则  ∴BD⊥AA₁                  ………4分

（Ⅱ）由于OB⊥平面AA₁C₁C  ∴平面AA₁C₁C的法向量

设⊥平面AA₁D,则

得到                       ………6分

所以二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值是                ………8分

（Ⅲ）假设在直线CC₁上存在点P，使BP//平面DA₁C₁

设,则

得                    ………9分

设,则设

得到                  ………10分

又因为平面DA₁C₁  ,则·

即点P在C₁C的延长线上且使C₁C=CP                        ………13分

法二：在A₁作A₁O⊥AC于点O，由于平面AA₁C_­1C⊥平面

ABCD，由面面垂直的性质定理知，A₁O⊥平面ABCD，

又底面为菱形，所以AC⊥BD

……………………4分

（Ⅱ）在△AA₁O中，A₁A=2，∠A₁AO=60°∴AO=AA₁·cos60°=1

所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以O也是BD中点

由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA₁C

过O作OE⊥AA₁于E点，连接OE，则AA₁⊥DE

则∠DEO为二面角D—AA₁—C的平面角                  ………6分

在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°

∴AC=AB=BC=2   ∴AO=1，DO=

在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO=  DE=

∴cos∠DEO=∴二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值是   ………9分

（Ⅲ）存在这样的点P,连接B₁C，因为A₁B₁AB_DC

∴四边形A₁B₁CD为平行四边形。∴A₁D//B₁C

在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连接BP                       ………11分

因B_­1­BCC₁，                                                   ………12分

∴BB₁CP    ∴四边形BB₁CP为平行四边形

则BP//B₁C     ∴BP//A₁D   ∴BP//平面DA₁C₁                      ………13分