Question

8．已知：f（x）=2$\sqrt{3}$cos²x+2sinxcosx-$\sqrt{3}$．
求：（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的单调递增区间；
（3）若f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）-f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{6}$，且α∈（$\frac{π}{2}$，π），求α的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和和差公式对f（x）进行化简，
（2）结合正弦函数的单调性列出不等式解出；
（3）代入f（x）的解析式得出sinα-cosα=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，根据α的范围求出α．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$（2cos²x-1）+2sinxcosx=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ．∴f（x）的单调递增区间是[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]，k∈Z．
（3）∵f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）-f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{6}$，∴2sinα-2cosα=$\sqrt{6}$．∴sinα-cosα=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．∴sin2α=-$\frac{1}{2}$．
∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），∴2α∈（π，2π），∴2α=$\frac{7π}{6}$，或2α=$\frac{11π}{6}$．∴α=$\frac{7π}{12}$，或α=$\frac{11π}{12}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换及性质，三角函数求值，属于基础题．