题目内容
9．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，以M（1，0）为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线$x-y+\sqrt{2}-1=0$相切．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点N（3，2），过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，请问 k1+k2是否为定值？如果是求出该值，如果不是说明理由．
分析 （1）由离心率关系及点到直线的距离公式求得a和b的值，求得椭圆C的标准方程；
（2）当斜率不存在时，求得A和B的坐标，求得k1，k2，即可求得k1+k2的值，当斜率不存在时，设直线 l：y=k（x-1），代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式即可求得k1+k2是否为定值．
解答 解：（1）椭圆离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，则a2=$\frac{3}{2}$c2，
圆（x-1）2+y2=b2与直线$x-y+\sqrt{2}-1=0$相切，
则圆心（1，0）到直线$x-y+\sqrt{2}-1=0$的距离b=d=$\frac{丨1-0+\sqrt{2}-1丨}{\sqrt{1+（-1）^{2}}}$=1，
即b=1，a2=3．
∴椭圆C的标准方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）①当直线斜率不存在时，由 $\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得x=1，y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
不妨设 A（1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），B（1，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$ ），
由k1+k2=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}-2}{1-3}$+$\frac{-\frac{\sqrt{6}}{3}-2}{1-3}$=2，
②当直线的斜率存在时，设点A（x1，y1）．B（x2，y2），设直线 l：y=k（x-1），
联立椭圆整理得：（3k2+1）x2-6k2x+3k2-3=0，
由韦达定理可知：x1+x2=$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x1•x2=$\frac{3{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$，
k1+k2=$\frac{2-{y}_{1}}{3-{x}_{1}}$+$\frac{2-{y}_{2}}{3-{x}_{2}}$=$\frac{[2-k（{x}_{1}-1）]（3-{x}_{2}）+[2-k（{x}_{2}-1）]（3-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-（4k+2）（{x}_{1}+{x}_{2}）+6k+12}{{x}_{1}{x}_{2}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$，
=$\frac{2（12{k}^{2}+6）}{12{k}^{2}+6}$=2，
∴k1+k2是否为定值2．
点评 本题考查椭圆的简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．
| A． | 2$\sqrt{3}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2 | D． | 3 |