Question

1．设a为实数，函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（1）若a=3，求f（2）的值；    
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）代值计算即可，
（2）分x≥a和x＜a两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，借助二次函数的对称轴及单调性．最后综合即可．

解答 解：（1）当a=3时，f（x）=2x²+（x-3）|x-3|，
∴f（2）=2×4+（2-3）×|2-3|=8-1=7，
（2）当x≥a时，f（x）=3x²-2ax+a²，∴f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{f（a），a≥0}\\{f（\frac{a}{3}），a＜0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}，a≥0}\\{\frac{2}{3}{a}^{2}，a＜0}\end{array}\right.$，
如图所示：

当x≤a时，f（x）=x²+2ax-a²，
∴f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{f（-a），a≥0}\\{f（a），a＜0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{-2{a}^{2}，a≥0}\\{2{a}^{2}，a＜0}\end{array}\right.$．

综上所述：f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-2{a}^{2}，a≥0}\\{\frac{2}{3}{a}^{2}，a＜0}\end{array}\right.$

点评 本题考查了分段函数的最值问题．分段函数的最值的求法是先对每一段分别求最值，最后综合最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值．