Question

如图，已知直线l：y=kx-2与抛物线C：x²=-2py（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，．
（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程；
（Ⅱ）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把直线与抛物线方程联立，设出A，B的坐标，利用韦达定理表示出x₁+x₂，进而根据直线方程求得y₁+y₂的表达式，然后利用求得p和k，则直线l和抛物线C的方程可得．
（Ⅱ）设P（x，y），依题意，抛物线过P的切线与l平行时，△APB面积最大；对抛物线方程求导，求得x，代入抛物线方程求得y，点P的坐标可得，进而利用点到直线的距离求得P到直线l的距离把直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求得|AB|，最后求得∴△ABP的面积最大值．
解答：解：（Ⅰ）由得，x²+2pkx-4p=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2pk，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-2pk²-4，
因为=（-4，-12），
所以解得
所以直线l的方程为y=2x-2，抛物线C的方程为x²=-2y
（Ⅱ）设P（x，y），依题意，抛物线过P的切线与l平行时，△APB面积最大，y′=-x，所以-x=2⇒x=-2，，所以P（-2，-2）．
此时P到直线l的距离，
由得，x²+4x-4=0，

∴△ABP的面积最大值为．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题时充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，解决问题．