Question

如图，已知直线l：y=kx-2与抛物线C：x²=-2py（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，

OA

+

OB

=(-4，-12)．
（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程；
（Ⅱ）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把直线与抛物线方程联立，设出A，B的坐标，利用韦达定理表示出x₁+x₂，进而根据直线方程求得y₁+y₂的表达式，然后利用

OA

+

OB

=(-4，-12)求得p和k，则直线l和抛物线C的方程可得．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），依题意，抛物线过P的切线与l平行时，△APB面积最大；对抛物线方程求导，求得x₀，代入抛物线方程求得y₀，点P的坐标可得，进而利用点到直线的距离求得P到直线l的距离把直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求得|AB|，最后求得∴△ABP的面积最大值．

解答：解：（Ⅰ）由

y=kx-2 x2=-2py

得，x²+2pkx-4p=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2pk，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-2pk²-4，
因为

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=(-2pk，-2pk2-4)=（-4，-12），
所以

-2pk=-4 -2pk2-4=-12.

解得

p=1 k=2.

所以直线l的方程为y=2x-2，抛物线C的方程为x²=-2y
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），依题意，抛物线过P的切线与l平行时，△APB面积最大，y′=-x，所以-x₀=2?x₀=-2，y0=-

1

2

x02=-2，所以P（-2，-2）．
此时P到直线l的距离d=

|2•(-2)-(-2)-2|

22+(-1)2

=

4

5

=

4 5

5

，
由

y=2x-2 x2=-2y

得，x²+4x-4=0，
|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1•x2

=

1+22

(-4)2-4(-4)

=4

10

∴△ABP的面积最大值为

4 10 • 4 5 5

2

=8

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题时充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，解决问题．