Question

15．已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=2，且对任意的x∈R都有f（x+5）≥f（x）+5，f（x+1）≤f（x）+1，则f（2014）=2015．

Answer 1

分析 根据不等式关系f（x+5）≥f（x）+5，f（x+1）≤f（x）+1，得到f（x+5）=f（x）+5，再根据f（x+5）≤f（x+1）+4得f（x）+5≤f（x+1）+4，推出f（x+1）≥f（x）+1，结合题目f（x+1）≤f（x）+1，得f（x+1）=f（x）+1，求解即可．

解答 解：∵f（x+1）≤f（x）+1，
∴f（x+5）≤f（x+4）+1≤f（x+3）+2≤f（x+2）+3≤f（x+1）+4≤f（x）+5，
而f（x+5）≥f（x）+5，
∴f（x+5）=f（x）+5，此时等号同时成立，
再根据f（x+5）≤f（x+1）+4得f（x）+5≤f（x+1）+4，所以f（x+1）≥f（x）+1，
又f（x+1）≤f（x）+1，
得f（x+1）=f（x）+1
即f（2014）=f（2013）+1=f（2012）+2=f（2011）+3=f（2010）+4=…=2013+f（1）=2015．
故答案为：2015．

点评 本题主要考查了抽象函数及其应用，根据不等式的关系求出递推关系式是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．