Question

2．已知函数f（x）=x³-x²-x-a．
（1）求f（x）的极值；
（2）若函数f（x）有且只有一个零点，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）结合函数的极值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）由已知，f'（x）=3x²-2x-1=0，得$x=-\frac{1}{3}$或x=1，
那么，x变化f'（x）与f（x）变化情况表为：

x	$（-∞，-\frac{1}{3}）$	$-\frac{1}{3}$	$（-\frac{1}{3}，1）$	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值		极小值

因而f（x）的极大值为$f（-\frac{1}{3}）=\frac{5}{27}-a$，f（x）的极小值为f（1）=-1-a；
（2）由（1）若函数f（x）有且只有一个零点，
则f（x）的极大值$\frac{5}{27}-a＜0$或f（x）的极小值-1-a＞0，
因而所求实数a的取值范围为{a|a＜-1或或$a＞\frac{5}{27}\}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．