Question

如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，为的中点．

（1）设与平面所成的角为，二面角的大小为，求证：；
（2）在线段上是否存在一点（与两点不重合），使得∥平面? 若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）详见解析；（2）存在，的长为.

试题分析：（1）直线和平面所成的角以及二面角的计算，可以考虑两种方法，其一利用传统立体几何的方法，由已知得，，又，故面，则，由平面，，故，则，然后分别在直角三角形中，求，或者可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量和直线的方向向量求直线和平面所成的角，利用两个半平面的法向量来求二面角的大小；（2）建立空间直角坐标系，设点，并求出半平面的法向量，利用和法向量垂直，列等式，即可求解.

试题解析：解法一：(1)证明： 又
                                       1分
又平面，,面     2分
∴               3分
,                5分
                                   6分
(2)取的中点，连交于,由与相似得，,  7分
在上取点,使,则,                     8分
在上取点使,由于平行且等于,               
故有平行且等于，                                               9分
四边形为平行四边形，所以,                             10分
而, 故有∥平面,                                   11分
所以在线段上存在一点使得∥平面，的长为.          12分

解法二：（1）同解法一；
（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立直角坐标系，则,为的中点,则     7分
假设存在符合条件的点，则共面，
故存在实数，使得         9分  
即，故有即  11分
即存在符合条件的点，的长为.            12分