题目内容
如图，已知四棱锥
，底面
是等腰梯形，
且
∥
，
是中点，
平面，
， 
是
中点．
（1）证明：平面
平面
；
（2）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
，底面是等腰梯形，且
∥，是中点，平面，， 是中点．（1）证明：平面
平面；（2）求平面
与平面所成锐二面角的余弦值.（1）详见解析；（2）
试题分析：（1）根据中位线可得
∥
，从而可证得∥平面。证四边形
为平行四边形可得
∥平面，从而可证得平面平面。（2）法一：延长
、
交于点
，连结
，则
平面
，易证△
与△
全等。过
作的垂线，则
与垂足的连线也垂直。由二面角的平面角的定义可得所求二面角。再用余弦定理即可求其余弦值。法二空间向量法。由题意可以
为坐标原点建立空间直角坐标系。根据各点的坐标求出个向量的坐标，在根据数量积公式求各面的法向量，在用数量积公式求其两法向量夹角的余弦值。注意两法向量所成的角可能与二面角相等也可能为其补角。试题解析：(1) 证明：
且
∥
，2分则
平行且等于
，即四边形为平行四边形，所以
.
6分(2) 『解法1』：
延长
、交于点，连结，则平面，易证△与△全等，过作
于
，连
，则
，由二面角定义可知，平面角
为所求角或其补角.易求
，又
，
，由面积桥求得
，所以
所以所求角为
，所以
因此平面
与平面所成锐二面角的余弦值为『解法2』：
以
为原点，
方向为
轴，以平面
内过点且垂直于
方向为
轴 以
方向为
轴，建立如图所示空间直角坐标系.则
，
，
，
，
，8分所以
，
，可求得平面
的法向量为
又
，
，可求得平面
的法向量为
则
，因此平面
与平面所成锐二面角的余弦值为 12分
练习册系列答案
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中，
平面
，底面
，
∥
，且
，
，
为
的中点．
所成的角为
，二面角
的大小为
，求证：
；
上是否存在一点
（与
两点不重合），使得
∥平面
? 若存在，求
的长；若不存在，请说明理由．
的直径
，点
、
为
，
，
为弧
的中点．将
折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．
；
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，试指出点
的正弦值.
中，底面
为平行四边形，
，
，
⊥底面
平面
； 
为
，求
与平面
所成角的正弦值．
D，使得平面BC
平面ABD．
中，
，
D、E分别是
上的点，且
，将
沿
折起到
的位置，使
，如图2．
平面
；
，求
与平面
所成角的余弦值；
点在何处时，
的长度最小，并求出最小值．
＋
＋
＋
＋
＝0成立的点M的个数为________．
=(1,5,-2),
=(3,1,z),若
=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为( )
,-
,4
,-