Question

已知函数f（x）=

-x+2(x＞1) x2(-1≤x≤1) x+2(x＜-1)

．
（1）求f（f（

5

2

））的值；
（2）画出函数的图象，并根据图象写出函数的值域和单调区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-m有四个不同零点，求m的取值范围，并求出这四个零点的和．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用分段函数，直接代入求值即可．
（2）根据分段函数，作出函数的图象，结合图象确定函数的值域和单调区间．
（3）利用方程f（x）=m有四个根，建立条件关系，求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）f(

5

2

)=-

1

2

，∴f(f(

5

2

))=f(-

1

2

)=

1

4

．
（2）在平面直角坐标系内画出此分段函数的图象为：

由图象可知，函数的值域是（-∞，1]，
单调增区间（-∞，-1]和[0，1]，
减区间[-1，0]和[1，+∞）．
（3）若函数g（x）=f（x）-m有四个不同零点，∴方程f（x）=m有四个根，
∴根据图象可得实数m的取值范围是0＜m＜1，
由图象判断f（x）是偶函数，所以这四个根的和是0．

点评：本题主要考查分段函数的图象和性质，以及函数图象交点问题的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．