Question

【题目】已知函数 （ ）
（1）若曲线 在点 处的切线经过点 ，求 的值；
（2）若 在 内存在极值，求 的取值范围；
（3）当 时， 恒成立，求 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解： .

， .

因为 在 处的切线过 ，所以 .

（2）解： 在 内有解且 在 内有正有负.

令 .

由 ，得 在 内单调递减，

所以 .

（3）解：因为 时 恒成立，所以 .

令 ，则 .

令 ，由 ，得 在 内单调递减，又 ，

所以 时 ，即 ， 单调递增， 时 ，

即 ， 单调递减.所以 在 内单调递增，

在 内单调递减，所以 .所以 .

【解析】（1）考察了曲线切线的斜率与导数的关系
（2）考察了极值与导数的关系，以及函数零点的存在性定理；f ( x ) 在 ( 1 ， 2 ) 内存在极值，等价于 f ′ ( x ) = 0 在 ( 1 ， 2 ) 内有解且f ′ ( x )在 ( 1 ， 2 ) 内有正有负，及结合f ′ ( x )的导函数，判断f ′ ( x )是单调减函数，因此运用函数零点存在性定理，只要g(1)>0 ，g(2)<0即可；
（3）考察函数含参恒成立问题的一般解法，分离参数法，进而利用函数单调性求最值。
注意第三问是证明恒成立问题，首先分离参数，可得a > ，构造函数 h ( x ) = ，只要a大于h(x)得最大值，再利用导数确定h(x)的单调性，注意一次求导不可得，再求一次，即可确定h(x)得单调性，即可
【考点精析】解答此题的关键在于理解导数的几何意义的相关知识，掌握通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切．容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．