Question

18.设F是抛物线G：x²=4y的焦点.

(Ⅰ)过点P(0，-4)作抛物线G的切线，求切线方程：

(Ⅱ)设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.

Answer 1

本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力。

解：(Ⅰ)设切点Q.由，知抛物线在Q点处的切线斜率为，故所求切线方程为.

即.

因为点P(0,-4)在切线上，

所以，，x₀=±4.

所求切线方程为y=±2x-4.

(Ⅱ)设A(x₁, y₁),C(x₂, y₂)

由题设知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0.

因直线AC过焦点F(0,1),所以直线AC的方程为y=kx+1.

点A,C的坐标满足方程组

得x²-4kx-4=0,

由根与系数的关系知

.

因为AC⊥BD,所以BD的斜率为，从而BD的方程为：.

同理可求得.

.

当k=1时，等号成立，所以，四边形ABCD面积的最小值为32.