Question

设F是抛物线G：x²=4y的焦点，点P是F关于原点的对称点．
（Ⅰ）过点P作抛物线G的切线，若切点在第一象限，求切线方程；
（Ⅱ）试探究（Ⅰ）中的抛物线G的切线与动圆x²+（y-m）²=5，m∈R的位置关系．

Answer 1

分析：（ I）利用导数求切线的斜率，假设切线方程，利用切点在切线上，即可求得切线方程；
（Ⅱ）探求圆心到切线的距离与圆的半径的关系，从而确定（Ⅰ）中的抛物线G的切线与动圆x²+（y-m）²=5，m∈R的位置关系．

解答：解：（ I）设切点Q(x0，

x 2 0

4

)（x₀＞0）．
由y′=

x

2

，知抛物线在Q点处的切线斜率为

x0

2

，故所求切线方程y-

x 2 0

4

=

x0

2

(x-x0)．                    （2分）
即y=

x0

2

x-

x 2 0

4

．                                                                （4分）
∵抛物线x²=4y的焦点为F（0，1），点P是F关于原点的对称点
∴P（0，-1）
因为点P（0，-1）在切线上．
所以-1=-

x 2 0

4

，
∴

x

2 0

=4，
∵x₀＞0
∴x₀=2．                                    （6分）
∴所求切线方程为y=x-1．                                                         （7分）
（Ⅱ） x²+（y-m）²=5，m∈R半径为r=

5

，圆心（0，m）到直线x-y-1=0的距离d=

|-m-1|

2

=

|m+1|

2

若d＞r，

|m+1|

2

＞

5

，m＞

10

-1或m＜-

10

-1时，x-y-1=0与圆相离，（9分）
若d=r，

|m+1|

2

=

5

，m=

10

-1或m=-

10

-1时，x-y-1=0与圆相切，（11分）
若d＜r，

|m+1|

2

＜

5

，-

10

-1＜m=

10

-1时，x-y-1=0与圆相交，（13分）
综上，若m＞

10

-1或m＜-

10

-1时（Ⅰ）中抛物线G的切线与动圆x²+（y-m）²=5相离，
若m=

10

-1或m=-

10

-1时（Ⅰ）中的抛物线G的切线与动圆x²+（y-m）²=5相切，
若-

10

-1＜m=

10

-1时（Ⅰ）中的抛物线G的切线与动圆x²+（y-m）²=5相交       （14分）

点评：本题重点考查抛物线的切线，考查直线与圆的位置关系，解题时运用导数为工具，利用圆心到直线的距离与半径的关系，研究直线与圆的位置关系．