Question

设F是抛物线G：x²=4y的焦点．
（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程；
（Ⅱ）设A，B为抛物线G上异于原点的两点，且满足

FA

•

FB

=0，延长AF，BF分别交抛物线G于点C，D，求四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

分析：（I）设出切点Q的坐标，对抛物线方程求导求得抛物线在Q点的切线斜率，表示出切线的方程把P点坐标代入求得x₀，则切线的方程可得．
（II）设出A，C的坐标和直线AC的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁+x₂，利用弦长公式表示出AC的长，根据AC⊥BD，表示出BD的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式表示出BD的长，进而可表示出ABCD的面积，利用基本不等式求得其最小值．

解答：解：（I）设切点Q(x0，

x 2 0

4

)
　由y′=

x

2

，知抛物线在Q点处的切线斜率为

x0

2

，
故所求切线方程为y-

x 2 0

4

=

x0

2

(x-x0)
即y=

x0

2

x-

x 2 4

4

因为点P（0，-4）在切线上
所以-4=-

x 2 0

4

，x₀²=16，x₀=±4
所求切线方程为y=±2x-4
（II）设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0
因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1
点A，C的坐标满足方程组

y=kx+1 x2=4y

得x²-4kx-4=0，
由根与系数的关系知

x1+x2=4k x1x2=-4.

|AC|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=4(1+k2)
因为AC⊥BD，所以BD的斜率为-

1

k

，从而BD的方程为y=-

1

k

x+1
同理可求得|BD|=4(1+(-

1

k

)2)=

4(1+k2)

k2

SABCD=

1

2

|AC||BD|=

8(1+k2)2

k2

=8(k2+2+

1

k2

)≥32
当k=1时，等号成立．　
所以，四边形ABCD面积的最小值为32．

点评：本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．