Question

8．已知函数$f（x）=alnx-\frac{2b}{x}$在x=1处有极值1．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$f'（x）=\frac{a}{x}+\frac{2b}{x^2}$．利用f（x）在x=1处有极值1，列出方程组，即可求解a，b的值．
（Ⅱ）利用函数的解析式，求出$f（x）=lnx+\frac{1}{x}$，定义域，求出$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，利用导函数的符号，求解函数的单调区间即可．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）由条件得$f'（x）=\frac{a}{x}+\frac{2b}{x^2}$．
因为f（x）在x=1处有极值1，
得$\left\{\begin{array}{l}f（1）=1\\ f'（1）=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-2b=1\\ a+2b=0\end{array}\right.$解得a=1，$b=-\frac{1}{2}$…（5分）
经验证满足题意．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$f（x）=lnx+\frac{1}{x}$，定义域是（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$
由f'（x）＞0，得x＞1；f'（x）＜0，得0＜x＜1．…（10分）
所以函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）…12

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程的应用，函数的极值以及函数的单调区间的求法，考查计算能力．